Question

9．已知函数f（x）=ax-lnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于$a＞\frac{lnx}{x}$，令$k（x）=\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出k（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=a-\frac{1}{x}$…（2分）
当a≤0，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无递增区间；…（3分）
当a＞0，当$0＜x＜\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，当$x＞\frac{1}{a}$时f'（x）＞0
所以f（x）的单调递减区间为$（{0，\frac{1}{a}}）$，递增区间为$（{\frac{1}{a}，+∞}）$．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞0有ax＞lnx，因为x＞0，所以ax＞lnx等价于$a＞\frac{lnx}{x}$．…（7分）
令$k（x）=\frac{lnx}{x}$，$k'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，由k'（x）=0可得x=e．…（8分）

	（0，e）	（e，+∞）
k'（x）	大于0	小于0
k（x）	单调递增	单调递减

…（10分）
由上表可知$k（x）≤k（e）=\frac{1}{e}＜a$，
即实数a的取值范围是$（\frac{1}{e}，+∞）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．