Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系， 　　则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0，0，0)、 　　B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、 　　P(0，0，2)、E(0，，1)， 　　从而＝(，1，0)，＝(，0，－2) 　　设与的夹角为，则 　　cos＝＝ 　　∴AC与PB所成角的余弦值为． 　　(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，O，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥面PAC可得， 　　 　　∴ 　　即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，．