题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AD=BC=2,对角线AC⊥BD于O,∠DAO=60°,且PO⊥平面ABCD,直线PA与底面ABCD所成的角为60°,M为PD上的一点.(Ⅰ)证明:PD⊥AC;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
分析:(I)根据直线PO与平面ABCD垂直得到线线垂直,根据三垂线定理可得;
(Ⅱ)过O作ON⊥PB于N,连接AN,根据定义可得∠ANO为二面角A-PB-D的平面角,在Rt△AON中求出此角即可.
(Ⅱ)过O作ON⊥PB于N,连接AN,根据定义可得∠ANO为二面角A-PB-D的平面角,在Rt△AON中求出此角即可.
解答:解:(I)∵PO⊥平面ABCD
∴DO为DP在平面ABCD内的射影
又AC⊥BD
∴AC⊥PD
(Ⅱ)过O作ON⊥PB于N,连接AN.
∵PO⊥平面ABCD,
又AO?平面ABCD,
∴PO⊥AO
由已知AO⊥BD,BD∩PO=O
∴AO⊥平面PBD.
∴ON为AN在平面PBD内的射影,
∴PB⊥AN.
∴∠ANO为二面角A-PB-D的平面角.
在Rt△AOD中,AO=1.
∵PO⊥平面ABCD,
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角,
∴∠PAO=60°
∴Rt△POA中,PO=
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB=1(8分)
在Rt△POB中,PB=2
∴ON=
=
=
.
在Rt△AON中,tan∠ANO=
=
=
.
∴二面角A-PB-D的大小为arctan
.
∴DO为DP在平面ABCD内的射影
又AC⊥BD
∴AC⊥PD
(Ⅱ)过O作ON⊥PB于N,连接AN.
∵PO⊥平面ABCD,
又AO?平面ABCD,
∴PO⊥AO
由已知AO⊥BD,BD∩PO=O
∴AO⊥平面PBD.
∴ON为AN在平面PBD内的射影,
∴PB⊥AN.
∴∠ANO为二面角A-PB-D的平面角.
在Rt△AOD中,AO=1.
∵PO⊥平面ABCD,
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角,
∴∠PAO=60°
∴Rt△POA中,PO=
3 |
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB=1(8分)
在Rt△POB中,PB=2
∴ON=
PO•OB |
PB |
| ||
2 |
| ||
2 |
在Rt△AON中,tan∠ANO=
AO |
ON |
1 | ||||
|
2
| ||
3 |
∴二面角A-PB-D的大小为arctan
2
| ||
3 |
点评:本小题主要考查直线与平面垂直的判定,以及二面角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.
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