题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a,PA=PC=2 |
(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求二面角A-PB-D的平面角的大小.
分析:(1)通过计算证明AD⊥PD.PD⊥CD.然后证明PD⊥平面ABCD
(2)取AP中点E,过E作EF⊥PB,垂足为F,∠DFE为所求,通过解三角形求出∠DFE=60°.
(2)取AP中点E,过E作EF⊥PB,垂足为F,∠DFE为所求,通过解三角形求出∠DFE=60°.
解答:证明:(1)AD2+PD2=a2+a2=PA2=(
a)2,由勾股定理,AD⊥PD.PD2+CD2=a2+a2=PC2=(
a)2,由勾股定理,PD⊥CD.∴PD⊥平面ABCD
(2)∵AB⊥AD,AB⊥PD,∴AB⊥平面PAD.
取AP中点E,由三垂线,∵DE⊥AP,∴DE⊥PB.
过E作EF⊥PB,垂足为F,则PB⊥平面DEF,∴PB⊥DF.
∴∠DFE为所求.DE=
a,EF=
a×
=
a,∴tan∠DFE=
.∴∠DFE=60°.
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(2)∵AB⊥AD,AB⊥PD,∴AB⊥平面PAD.
取AP中点E,由三垂线,∵DE⊥AP,∴DE⊥PB.
过E作EF⊥PB,垂足为F,则PB⊥平面DEF,∴PB⊥DF.
∴∠DFE为所求.DE=
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点评:本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.
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