Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）设PD=AD=a，求三棱锥B-EFC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意容易证明EF∥AP．由线面平行的判定定理可证
（Ⅱ）由（I）知EF∥AP，要证EF⊥CD，只要证明CD⊥PA．，结合已知，可证CD⊥平面PAD，即可
（Ⅲ）利用等体积，把所求的体积V_B-EFC=V_F-EBC，可求

解答：（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，PB的中点，
∴EF∥AP．
又∵EF?平面PAD，AP?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．                  （4分）
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．
∴CD⊥平面PAD，
又∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA．
又∵EF∥PA，
∴EF⊥CD．    （8分）
（Ⅲ）解：连接AC，DB相交于O，连接OF，则OF⊥面ABCD，
则OF为三棱锥F-EBC的高，OF=

1

2

PD=

1

2

a，S_△EBC=

1

2

EB•BC=

1

2

×

1

2

a×a=

a2

4

∴VB-EFC=VF-EBC=

1

3

S△EBC•OF=

1

3

•

1

2

•a•

a

2

•

a

2

=

1

24

a2．（12分）

点评：本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理的应用，线面关系与面面关系的相互转化，利用等体积求解求解三棱锥的体积的综合应用．