Question

若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函数，且满足y=f(x)+f(x-

1

2

)≤0，求x的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0，偶函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-

1

2

）|≤1，
∴-1≤x（x-

1

2

）≤1，
∴

2x2-x+2≥0① 2x2-x-2≤0②

，①的解集为R，
解②得

1- 17

4

≤x≤

1+ 17

4

，又x≠0．
∴x的取值范围为：[

1- 17

4

，0）∪（0，

1+ 17

4

]．