Question

若对一切非零实数，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函数，且满足y=f(x)+f(x-

1

2

)≤0，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，可求得f（1），再令x=-1，y=-1可求得f（-1）；
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论，即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）依题意，将已知关系式逆用f（xy）=f（x）+f（y），结合（2）中函数y=f（x）的奇偶性与在（0，+∞）上是增函数，即可求得x的取值范围．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0，偶函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-

1

2

）|≤1，
∴-1≤x（x-

1

2

）≤1，
∴

2x2-x+2≥0① 2x2-x-2≤0②

，①的解集为R，
解②得

1- 17

4

≤x≤

1+ 17

4

，又x≠0．
∴x的取值范围为：[

1- 17

4

，0）∪（0，

1+ 17

4

]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的综合，突出考查赋值法的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．