Question

已知函数f(x)=x-

1

|x|

，若不等式f（t²）+mf（t）≥f（-t²）+mf（-t）-2对一切非零实数t恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：根据题意函数f(x)=x-

1

|x|

把不等式f（t²）+mf（t）≥f（-t²）+mf（-t）-2进行变形得到t²+mt≥-1对一切非零实数t恒成立，则t²+mt的最小值要大于等于-1，利用二次函数t=-

b

2a

时，函数的最小值为

4ac-b2

4a

，求出t²+mt的最小值列出关于m的不等式求出解集即可．

解答：解：∵函数f(x)=x-

1

|x|

则不等式可化为：t²+mt≥-1
设y=t²+mt则它是开口向上的抛物线．
∴当t=

m

-2

时，y_min=

-m2

4

；
∵不等式f（t²）+mf（t）≥f（-t²）+mf（-t）-2对一切非零实数t恒成立．
∴y的最小值≥-1即得到：

-m2

4

≥-1
解得：-2≤m≤2
故答案为[-2，2]．

点评：考查函数恒成立的条件，以及二次函数求最值的方法．