Question

【题目】在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cosθ和曲线C2：ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＝3.（2）最小值为 .

【解析】

（1）根据题意，利用极坐标公式转化成直角坐标方程，即可求解，

（2）根据题意画出图像，则由圆几何性质可知PQ过点A(2，0)，将直线的参数方程代入分别求参数，运用参数的几何意义求弦长，再根据基本不等式求解最值.

（1）C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＝3.

（2）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，

∵PQ⊥OP，∴PQ过点A(2，0)，

设直线PQ的参数方程为 (t为参数)，

代入C1可得t2＋2tcos θ＝0，解得t1＝0，t2＝－2cos θ，

可知|AP|＝|t2|＝|2cos θ|.

代入C2可得2＋tcos θ＝3，解得t′＝，

可知|AQ|＝|t′|＝，

∴|PQ|＝|AP|＋|AQ|＝|2cos θ|＋≥，当且仅当|2cos θ|＝ 时取等号，

∴线段PQ长度的最小值为