Question

设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段    的长度是a，b的几何平均数，线段    的长度是a，b的调和平均数．

Answer 1

【答案】分析：在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD²=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE的长，得到OE进而ED，得到结果．
解答：解：在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD²=AC•CB，
∴，即CD长度为a，b的几何平均数，
将OC=代入OD•CE=OC•CD
可得
故，
∴ED=OD-OE=，
∴DE的长度为a，b的调和平均数．
故选CD；DE
点评：本题是一个新定义问题，解题过程中主要应用直角三角形边之间的比例关系，得到比例式，本题是一个平面几何与代数中的平均数结合的问题，是一个综合题．