Question

设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；
（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；
（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（），f（），根据等比数列的定义，即可得到结论；
（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠-1}，
∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）（i）计算得f（1）=，f（）=，f（）=．
∵
∴f（1），f（），f（）成等比数列，
∵a＞0，b＞0，∴≤
∴f（）≤f（）；
（ii）由（i）知f（）=，f（1）=．
故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（1）．
当a＞b＞0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．这时≤x≤1，即x的取值范围为≤x≤1；
当0＜a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴x的取值范围为1≤x≤．
点评：本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．