题目内容

设a＞0，b＞0，称
2aba+b
为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，那么a，b的调和平均数是线段
DE
DE
的长度．
分析：有题意可知，Rt△DAC∽Rt△BDC，于是可得
CD
BC
=
AC
CD
，即
CD
b
a
CD
⇒CD2=ab；同理可得，由Rt△DCO∽Rt△EDC⇒CD2=DE•OD，从而可得答案．
解答：解：依题意得，Rt△DAC∽Rt△BDC，
∴
CD
BC
=
AC
CD
，
∵AC=a，CB=b，
∴
CD
b
a
CD
，CD2=ab（射影定理）；
同理，Rt△DCO∽Rt△EDC⇒CD2=DE•OD，又OD=
a+b
2
，
∴DE=
CD2
OD
=
2ab
a+b
，此即为a，b的调和平均数．
故答案为：DE．
点评：本题考查三角形相似及比例的运用，考查射影定理的灵活应用，体现转化思想与运算能力的考查，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网设a＞0，b＞0，称
2aba+b
为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段
 
的长度是a，b的几何平均数，线段
 
的长度是a，b的调和平均数．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设
MA
=λ1
AN
，
MB
=λ2
BN
，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．
设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；
（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．
设a＞0，b＞0，称
2ab
a+b
为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，那么a，b的调和平均数是线段______的长度．
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