Question

数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n≥1），则a_n=

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

．

Answer 1

分析：由an+1=

1

3

Sn，得an=

1

3

Sn-1（n≥2），作差可得a_n，a_n+1间的递推关系式，由递推式及首项可判断该数列从第二项起构成等比数列，从而可求得通项公式．

解答：解：由an+1=

1

3

Sn，得an=

1

3

Sn-1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=

1

3

an，即an+1=

4

3

an（n≥2），
又a₁=1，a2=

1

3

，
所以数列{a_n}中各项均不为0，且从第二项起构成公比为

4

3

的等比数列，
所以n≥2时，an=

1

3

×(

4

3

)n-2，n=1时，a₁=1，
所以a_n=

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

，
故答案为：

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

．

点评：本题考查由数列递推公式求数列通项公式，解决本题的基础是正确理解a_n与S_n间的关系．