Question

12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+$\frac{1}{2}$-f（x）-f（y）=0，若一族平行线x=x_i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），且x_i，2f（1），x_n-i+1成等比数列，其中i=1，2，…，n，则$\frac{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}}{n}$=（　　）

• A． 2n
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{n}{2}$

Answer 1

分析 利用x_i，2f（1），x_n-i+1成等比数列，得x_ix_n-i+1=1，f（x_i）+f（x_n-i+1）=f（x_ix_n-i+1）+$\frac{1}{2}$=1，求出2$\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}$=1+1+…+1=n，即可得出结论．

解答 解：由题意，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∵x_i，2f（1），x_n-i+1成等比数列，
∴x_ix_n-i+1=1，
∴f（x_i）+f（x_n-i+1）=f（x_ix_n-i+1）+$\frac{1}{2}$=1，
∴2$\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}$=1+1+…+1=n，
∴$\frac{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}}{n}$=$\frac{1}{2}$　　
故选：C．

点评 本题考查等比数列的性质，考查函数值的计算，属于中档题．