Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点，F是棱A₁D₁的中点．
（Ⅰ）证明：C D₁∥平面B₁EDF；
（Ⅱ）求直线A₁C与DE所成的角；
（Ⅲ）求二面角B₁-ED-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需证明C D₁∥EF即可，而四边形FECD₁易证为平行四边形，则问题得证．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则点A₁、C、D、E的坐标易于表示，进而求出

DE

、

CA1

的坐标，再得两向量夹角，最后得直线A₁C与DE所成的角．
（Ⅲ）在（Ⅱ）建立的空间直角坐标系中，找到平面EDC的一个法向量

AA1

，且坐标易得，再设出平面B₁EDF的一个法向量

m

，进而利用垂直关系得到满足要求的一个法向量，则由两法向量的夹角可求得二面角B₁-ED-C的大小．

解答：（Ⅰ）证明：E是BC的中点，F是A₁D₁的中点，连接EF，
∴有平行四边形FECD₁，∴D₁C∥EF，
∵D₁C?平面B₁EDF，EF?平面B₁EDF，
∴CD₁∥平面B₁EDF．

（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AA₁分别为为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由题意：设正方体棱长为1，则D（0，1，0），E（1，

1

2

，0），C（1，1，0），A₁（0，0，1）
∴

DE

=(1，-

1

2

，0)，

CA1

=(-1，-1，1)，
设直线A₁C与DE所成的角为θ，
∴cosθ=|cos?

DE

，

CA1

?|=

1 2

| 12+(- 1 2 )2+02 |•| (-1)2+(-1)2+12 |

=

15

15

，
∴θ=arccos

15

15

．

（Ⅲ）解：由已知易知

AA1

为平面EDC的一个法向量，

AA1

=(0，0，1)．
设

m

=(x，y，z)为平面B₁EDF的一个法向量，

B1E

=(0，

1

2

，-1)，

B1D

=(-1，1，-1)．

m • B1E =0 m • B1D =0

，∴

y 2 -z=0 -x+y-z=0

，∴

y=2z x=z

，
∴

m

=(z，2z，z)，
令z=1，

m

=(1，2，1)，设

m

和

AA1

成角为θ，二面角B₁-ED-C为α．
cosθ=

1

12+22+1 • 12

=

6

6

，由题可知，二面角B₁-ED-C为钝角，
α=arccos(-

6

6

)或α=π-arccos

6

6

．

点评：本题考查线面平行的判定及向量法解决立体几何的计算问题．