Question

已知f(x)＝log₃，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

假设存在实数a，b使命题成立，

∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，

∴x＝1时，f(x)取得最小值1，

∴log₃＝1，∴a＋b＝2.

∵f(x)在(0,1)上是减函数，

设0<x₁<x₂<1，

∴f(x₁)>f(x₂)恒成立，

即恒成立，

整理得>0恒成立．

∵0<x₁<x₂<1，∴x₁－x₂<0，x₁x₂>0，

∴x₁x₂－b<0恒成立，即x₁x₂<b恒成立，

而x₁x₂<1，∴b≥1.

同理，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1.

故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件.