题目内容
20．给出下列四个命题：①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；
②函数y=f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2-y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜$\frac{1}{4}$成立的概率是$\frac{π}{4}$
④函数y=log2（x2-ax+2）在[2，+∞）恒为正，则 实数a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$）．
其中真命题的序号是①②④．（请填上所有真命题的序号）
分析 ①根据含有量词的命题的否定进行判断．
②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断．
③根据几何概型的概率公式进行判断．
④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可．
解答 
解：①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；故①正确，
②函数y=f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2-y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；正确，当点P的坐标满足y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-1}}&{x＜-1}\\{-\sqrt{{x}^{2}-1}}&{x＞1}\end{array}\right.$时，函数f（x）为奇函数．故②正确，
③若a，b∈[0，1]，则不等式${a^2}+{b^2}＜\frac{1}{4}$成立的概率是$P=\frac{{\frac{1}{4}×π×{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{1×1}=\frac{π}{16}$．如图．所以③错误
④因为函数y=log2（x2-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，
所以在[2，+∞）上x2-ax+2＞1恒成立，
即：在[2，+∞）上$a＜x+\frac{1}{x}$恒成立，
令$g（x）=x+\frac{1}{x}$，$g′（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$
因为x≥2，所以$g′（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=$\frac{5}{2}$，
所以$a＜\frac{5}{2}$．则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$）．故④正确，
故答案为：①②④
点评 本题考查各种命题的真假判断，正确利用相关知识进行推理，要求熟练进行应用．
优学名师名题系列答案| A． | 252 | B． | -252 | C． | 160 | D． | -160 |
A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10$\sqrt{7}$km，CB=10km，∠CBA=60°．| A． | 最小值为-1，不存在最大值 | B． | 最小值为2，不存在最大值 | ||
| C． | 最大值为-1，不存在最小值 | D． | 最大值为2，不存在最小值 |
| A． | $\frac{5}{2}$ | B． | 2 | C． | $\frac{\sqrt{10}}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ |