题目内容
2．已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=16及直线l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10（m∈R）．（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）当直线l被圆C截得的弦长的最短时，求此时直线l方程．
分析 （1）利用直线系求出直线恒过的定点坐标判断点与圆的位置关系，推出结果即可．
（2）利用圆的半径弦心距与半弦长的关系判断所求直线的位置，求出斜率，即可得到直线方程．
解答 解：（1）证明：直线l可化为2x+y-10+m（x+3y-15）=0，
即不论m取什么实数，它恒过两直线2x+y-10=0与x+3y-15=0的交点．两方程联立，解得交点为（3，4）．
又有（3-2）2+（4-3）2=2＜16，
∴点（3，4）在圆内部，
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交．…（6分）
（2）解：从（1）的结论和直线l过定点M（3，4）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，…（8分）
此时，kl=-$\frac{1}{kCM}$，从而kl=-$\frac{1}{\frac{4-3}{3-2}}$=-1，…（10分）
∴l的方程为y-4=-（x-3），即x+y=7．…（12分）
点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
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| A． | 16 | B． | 28 | C． | 40 | D． | 56 |
如图，在直角坐标系xOy中，将直线y=$\frac{x}{2}$与直线x=1及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=${∫}_{0}^{1}$π（$\frac{x}{2}$）2dx=$\frac{π}{12}$x3|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{π}{12}$．据此类比：将曲线y=x3（x≥0）与直线y=8及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=$\frac{96π}{5}$．
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