Question

13．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$（t为参数）．当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为$\sqrt{6}$？

Answer 1

分析 由题意求出椭圆方程，化直线的参数方程为普通方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式求解．

解答 解：由已知可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
且2a=4，2b=2，则a=2，b=1．
∴椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
化直线参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$为y=2x+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得8x²+4mx+m²-4=0．
设直线l被圆所截的弦的两个端点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则△=16m²-32（m²-4）=128-16m²＞0，得-2$\sqrt{2}$＜m＜$2\sqrt{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{m}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{8}$．
∴|AB|=$\sqrt{5}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{{m}^{2}-4}{2}}=\sqrt{6}$．
解得：m=$±\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴m=$±\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，直线l被椭圆截得的弦长为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了参数方程化普通方程，训练了弦长公式的应用，是中档题．