Question

如图，椭圆的顶点为，焦点为，.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n 为过原点的直线，是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，.是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)使成立的直线不存在.

试题分析：(Ⅰ)由知a²+b²=7,             ①
由知a=2c,          ②
又b²=a²-c²                                    ③
由 ①，②，③解得a²=4,b²=3,
故椭圆C的方程为
(Ⅱ) 设A,B两点的坐标分别为
假设使成立的直线l存在，

(i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为,
由l与n垂直相交于P点且得,即m²=k²+1
由得x₁x₂+y₁y₂=0
将y=kx+m代入椭圆方程,得(3+4k²)x²+8kmx+(4m²-12)=0,
由求根公式可得x₁+x₂=            ④
x₁+x₂=         ⑤


将④，⑤代入上式并化简得       ⑥
将代入⑥并化简得，矛盾.
即此时直线不存在.
（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为，
则A,B两点的坐标为或
当时，
当时，
∴ 此时直线也不存在.
综上可知，使成立的直线不存在.
点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后高考命题的一个新的重点、热点.