Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）用五点作图法做出f（x）在区间[0，π]上的草图；
（3）写出f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的正弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）和五点作图法列出表格，由正弦函数的图象画出在区间[0，π]上的草图即可；
（3）由（2）中的函数图象，直接求出f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，…（2分）π
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}=π$…（3分）
（2）由（1）列表得

x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
2x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
f（x）	-$\frac{1}{2}$	0	1	0	-1	-$\frac{1}{2}$

…（5分）
作图：（草图，仅供参考）
…（8分）
（3）由图象可得，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1，最小值为$-\frac{1}{2}$…（10分）

点评 本题考查正弦函数的图象，五点作图法，以及二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式的应用，属于中档题．