Question

【题目】已知函数，.

（1）求使方程存在两个实数解时，的取值范围；

（2）设，函数，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，可得函数在区间上单调递增，在上单调递减，求得，，，利用可得结果；（2）由（1）知，设的值域为，因为对任意，总存在，使得，等价于.利用导数研究函数的单调性，求出的值域，根据包含关系列不等式求解即可,

（1）.

令，得；令，得，

所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，

所以，又，，

要使方程存在两个实数解，则，

解得.

（2）由（1）知，设的值域为，因为对任意，总存在，使得，所以.

因为，所以，

当时，在上恒成立，所以在上单调递减，

又，不可能满足.

当时，由于，

若，即，在上单调递减，在上单调递增，

，又，，要使，则必须有，化简得，解得，又，所以.

若，即，在上单调递减，不可能满足.

综上，实数的取值范围为.