Question

（本小题满分14分）设函数．

（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求正实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上为减函数，故在上恒成立． 1分

所以当x∈时，．

又， 2分

当，即时，．

所以于是，故a的最小值为． 4分

（2）命题“若存在 ，使成立”等价于“当时，有

”． 5分

由（Ⅰ），当时，，∴．

问题等价于：“当时，有”． 6分

①当时，由（1），在上为减函数，

则，故． 8分

②当a<时，由于在上的值域为

（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的单调性和值域知，

存在唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，， 12分

所以，，与矛盾． 13分

综上，得 14分

考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的最值