题目内容
过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，已知AB=8，O为坐标原点，求：△OAB的重心的横坐标．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先求得抛物线焦点坐标，进而设出过焦点的直线方程代入抛物线方程消去x，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入|AB|的表达式中即可求得k，进而根据三个定点的横坐标求得△OAB的重心的横坐标．
解答：
解：由题意知抛物线焦点F（1，0），
设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入抛物线方程y2=4x消去y得k2x2-2（k2+2）x+k2=0．
∵k2≠0，∴x1+x2=
，x1x2=1．
∵|AB|
=
=8，
∴k2=1．
∴△OAB的重心的横坐标为x=
=2．
△OAB的重心的横坐标为2．
设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入抛物线方程y2=4x消去y得k2x2-2（k2+2）x+k2=0．
∵k2≠0，∴x1+x2=
| 2(k2+2) |
| k2 |
∵|AB|
| (x1+x2)2-4x1x2 |
(1+k2)[(
|
∴k2=1．
∴△OAB的重心的横坐标为x=
| 0+x1+x2 |
| 3 |
△OAB的重心的横坐标为2．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常涉及直线与圆锥曲线联立消元后利用韦达定理解决问题．
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| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| A、-2≤t≤2 | ||||
B、t≤-1-
| ||||
| C、t≤0或t≥2 | ||||
| D、t≥2或t≤-2或t=0 |
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