Question

19．已知直线${l_1}：ax-2y=2a-4，{l_2}：2x+{a^2}y=2{a^2}+4（{0＜a＜2}）$与两坐标轴的正半轴围成四边形，当a为何值时，围成的四边形面积最小，并求最小值．

Answer 1

分析 求出其交点坐标．由l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，设l₁与y轴交于点A，l₂与x轴交于点B．则A（0，2-a），B（a²+2），求出A，B到OM的距离，可得结论．

解答 解：由直线方程可知，l₁和l₂均过定点 M（2，2）…3
设l₁与y轴交于点A，l₂与x轴交于点B．则A（0，2-a），B（a²+2），….5
四边形OAMB的面积等于三角形AOM和三角形BOM的面积之和.$|{OM}|=2\sqrt{2}$，直线OM的方程是x-y=0．
A，B到OM的距离是d₁，d₂，则${d_1}=\frac{{|{-2+a}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{2-a}{{\sqrt{2}}}，{d_2}=\frac{{|{{a^2}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{a^2}+2}}{{\sqrt{2}}}$，….8
$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（{{d_1}+{d_2}}）={a^2}-a+4\\={（{a-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{15}{4}\end{array}$…10
所以当$a=\frac{1}{2}$时，面积最小，最小值为$\frac{15}{4}$…12

点评 本题考查两直线的交点坐标的求法和四边形面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．