Question

函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：(1)在[a，b]内是单调函数；(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“美丽区间”．下列函数中存在“美丽区间”的是          . (只需填符合题意的函数序号) 
①、；        ②、；
③、；        ④、.

Answer 1

①③④

试题分析：函数中存在“美丽区间”的定义可知：①在[a，b]内是单调增函数；
则，解得∴f（x）=x²（x≥0），若存在“美丽区间”[0，2]，∴f（x）=x²（x≥0），若存在“美丽区间”[0，2]；②f（x）=e^x（x∈R），若存在“美丽区间”[a，b]，则，所以，构建函数g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“美丽区间”；③在上单调递减，若存在“美丽区间”[a，b]，则，则，故存在；④，，若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则∴a=0，b=1，若存在“美丽区间”[0，1]；故存在“美丽区间”的是①③④.