Question

已知函数的定义域为，且同时满足以下三个条件：①；②对任意的，都有；③当时总有.
（1）试求的值；
（2）求的最大值；
（3）证明：当时，恒有.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）抽象函数求在特殊点的值，一般用赋值法，令代入抽象函数可得，又因为，可得.（2）在定义域内求抽象函数最值，一般先判断函数单调性，再求比较定义域端点的函数值和极值点的大小.证明单调性可令，代入得进而得函数为增函数，最大值为；
（3）在上证不等式，要分两段、.在上，，所以.在，，所以，进而得证.
试题解析：（1）令则有，所以有，有根据条件?可知，故.（也可令）
方法一：设，则有，即为增函数（严格来讲为不减函数），所以，故.
方法二：不妨令，所以由?，即增函数（严格来讲为不减函数），所以，故.
（3）当，有，又由?可知，所以有对任意的恒成立.当，又由?可知，所以有对任意的恒成立.综上，对任意的时，恒有.