Question

20．在平面直角坐标系xOy中，角$α，β（0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π）$的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为$\frac{5}{13}，-\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）写出cosα，cosβ的值；（只需写出结果）
（Ⅱ）求tanβ的值；
（Ⅲ）求∠AOB的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的定义，写出cosα，cosβ的值；
（Ⅱ）利用同角三角函数关系求tanβ的值；
（Ⅲ）利用cos∠AOB=cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，求∠AOB的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）$cosα=\frac{5}{13}$；$cosβ=-\frac{4}{5}$．…（2分）
（Ⅱ）因为$cosβ=-\frac{4}{5}$，$\frac{π}{2}＜β＜π$，
所以$sinβ=\frac{3}{5}$．…（4分）
所以$tanβ=\frac{sinβ}{cosβ}=\frac{{\frac{3}{5}}}{{-\frac{4}{5}}}=-\frac{3}{4}$．…（6分）
（Ⅲ） 因为$cosα=\frac{5}{13}$，$0＜α＜\frac{π}{2}$，
所以$sinα=\frac{12}{13}$．…（8分）
所以cos∠AOB=cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=$-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$．…（14分）

点评 本题考查三角函数的定义，同角三角函数关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．