Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设函数f（n）=b_n-t•S_n（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，若f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．可得a_n+a_n+1=2ⁿ，1+a₂=2，解得a₂=1．变形为an+1-

1

3

•2n+1=-(an-

1

3

×2n)，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得S_n=

1

3

×

2(2n-1)

2-1

+

1

3

[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]=

2n+1-1 3 ，n为奇数 2n+1-2 3 ，n为偶数

．b_n=a_na_n+1=

1

9

[22n+1+2n(-1)n-1-1]．由f（n）＞0对任意的
n∈N^*都成立，即b_n＞t•S_n．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，1+a₂=2，解得a₂=1．
∴an+1-

1

3

•2n+1=-(an-

1

3

×2n)，
∴数列{an-

1

3

×2n}为等比数列，首项a1-

1

3

×2=

1

3

．
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
∴a_n=

1

3

×2n+

1

3

×(-1)n-1．
（2）由（1）可得S_n=

1

3

×

2(2n-1)

2-1

+

1

3

[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]=

2n+1-1 3 ，n为奇数 2n+1-2 3 ，n为偶数

．
b_n=a_na_n+1=[

1

3

×2n+

1

3

×(-1)n-1][

1

3

×2n+1+

1

3

(-1)n]=

1

9

[22n+1+2n(-1)n-1-1]．
∵f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，即b_n＞t•S_n．
∴当n为奇数时，可得

1

9

(22n+1+2n-1)＞t•

1

3

(2n+1-1)，化为t＜

22n+1+2n-1

3(2n+1-1)

，即t＜

1

3

(2n+1)，右边为单调递增数列，因此t＜1．
当n为偶数时，可得

1

9

(22n+1-2n-1)＞t•

2n+1-2

3

，化为t＜

22n+1-2n-1

3(2n+1-2)

，即t＜

1

3

(2n-

1

2

)，右边为单调递增数列，因此t＜

7

6

．
综上可得：t＜1．
∴t的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．