Question

12．已知直线l过点（0，-1）且被两条平行直线l₁：2x+y-6=0和l₂：4x+2y-5=0截得的线段长为$\frac{7}{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 利用点到直线的距离公式可得l₁与l₂之间的距离d，设直线l与两平行直线的夹角为α，则sin$α=\frac{d}{\frac{7}{2}}$．对直线l的斜率分类讨论即可得出．

解答 解：l₁与l₂之间的距离$d=\frac{{|-6+\frac{5}{2}|}}{{\sqrt{{2^2}+1}}}=\frac{7}{{2\sqrt{5}}}$，
设直线l与两平行直线的夹角为α，
则$sinα=\frac{d}{{\frac{7}{2}}}=\frac{{\frac{7}{{2\sqrt{5}}}}}{{\frac{7}{2}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，∴$cosα=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
①当直线l斜率存在时，设l：y+1=kx，即l：kx-y-1=0，
则：$cosα=\frac{|2k-1|}{{\sqrt{5}\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}⇒k=-\frac{3}{4}$．
即直线l的方程为：3x+4y+4=0．
②当直线l斜率不存在时，l：x=0，$cosα=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$符合．
所以直线l的方程为：3x+4y+4=0或x=0．

点评 本题考查了平行线之间的距离公式、分类讨论方法、直线方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．