Question

【题目】已知圆的圆心的坐标为，且圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，直线与直线的交点为.

（1）求圆的标准方程；

（2）求的最小值；

（3）问：是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ； (3) 是定值，定值为-10.

【解析】

（1）根据圆与直线：相切，即圆心到直线的距离等于半径，求出半径，即可写出圆；

（2）根据知当为最大值时，有最小值；

（3）设中点为，，再设直线，联立方程组，计算即可得出。

解：（1）∵圆与直线：相切，圆心为，

∴半径，

∴圆的方程为.

（2）∵，其中是圆心到直线的距离，

∴最大时，最小.

∵当是弦中点时，最大，且，

∴的最小值为.

（3）设中点为，则即，∴，

且，

∴.

当与轴垂直时，方程为，代入圆方程得，

∴中点的坐标为，直线与直线的交点坐标为，

∴.∵，∴，

∴；

当与轴不垂直时，设方程为，

由，得，

∴，

∴，

∴，

∴是定值，定值为-10.