Question

【题目】已知函数.

（1）当a=1时，求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）.

【解析】

（1）将代入函数的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间；

（2）因为在上恒成立，等价于在上恒成立，即，令，利用导数求函数在上的最大值，即可得解；

（3）先求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的值；

解：（1）当时，，，，

令，解得：，令，解得：，

函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）因为在上恒成立，即在上恒成立，

等价于在上恒成立，

令，则，令，则，

即在上单调递增，，

（3）由，得，，

当时，有恒成立，此时函数在上单调递减，

，（舍去，

当时，令，解得：，令，解得：，

函数在单调递减，在上单调递增，

，，

综上，时满足条件．