题目内容
【题目】己知函数
在
处的切线方程为
，函数
.
（1）求函数
的解析式；
（2）求函数
的极值；
（3）设
（
表示
，
中的最小值），若
在
上恰有三个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）极小值
，无极大值．（3）
【解析】
（1）先求得函数
导数，利用切点坐标和函数在
时切线的斜率也即导数列方程组，解方程组求得
的值，进而求得函数的解析式.（2）先求得
的定义域和导函数，对
分成
两种情况，通过函数的单调性讨论函数的极值.（3）先根据（1）判断出有且仅有一个零点
，故需在
上有仅两个不等于1的零点.根据（2）判断出当
时，
没有三个零点；当
时，通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用，证得分别在
，
分别有个零点，符合题意.由此求得实数的取值范围.
解：（1）
因为在处的切线方程为
所以
，
解得
所以
（2）的定义域为，
①若
时，则
在上恒成立，
所以在上单调递增，无极值
②若
时，则当
时，
，在
上单调递减；
当
时，，在
上单调递增；
所以当
时，有极小值，无极大值．
（3）因为
仅有一个零点1，且
恒成立，
所以在上有仅两个不等于1的零点．
①当时，由（2）知，在上单调递增，
在上至多一个零点，不合题意，舍去
②当
时，
，在无零点
③当
时，
，当且仅当
等号成立，在仅一个零点
④当时，
，
，所以
，
又图象不间断，在上单调递减
故存在
，使
又
下面证明，当
时，
，
在上单调递增
所以
，
又图象在上不间断，在上单调递增，
故存在
，使
综上可知，满足题意的的范围是
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