Question

如图，在长方体中，点在线段上.

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离.

Answer 1

解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.

答案：解法一：（Ⅰ）连结。由已知，是正方形，有。

∵平面，∴是在平面内的射影。

根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。

作，垂足为，连结，则

所以为二面角的平面角，.

于是

易得，所以，又，所以。

设点到平面的距离为.

∵即，

∴，即，∴.

故点到平面的距离为。

解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）由，得

设，又，则。

∵∴

则异面直线与所成的角为。

（Ⅱ）为面的法向量，设为面的法向量，则

∴.                         ①

由，得，则，即

∴                            ②

由①、②，可取

又，所以点到平面的距离

。