Question

8．圆C₁：x²+y²+2x+6y+6=0，圆C₂：x²+y²-4x-2y+4=0，Q，P都是到两圆的切线长相等的两点，若直线QP将两圆的圆心连线分成的两段长分别为m，n（m＞n），则$\frac{m}{n}$=$\frac{14}{11}$．

Answer 1

分析 根据切线的性质求出直线PQ的方程，求出两圆圆心连线的方程即可发现两直线垂直，分别求出两圆心到直线PQ的距离即可得出m，n的值．

解答 解：圆C₁的圆心为C₁（-1，-3），半径为r₁=2，
圆C₂的圆心为C₂（2，1），半径为r₂=1，
设P（x，y），∵P到两圆的切线长相等，
∴（x+1）²+（y+3）²-4=（x-2）²+（y-1）²-1，
即3x+4y+1=0．
∴直线PQ的方程为3x+4y+1=0，
两圆的圆心连线C₁C₂的方程为$\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{4}$，即4x-3y-5=0，
∴直线PQ与直线C₁C₂垂直，
∴C₁到直线PQ的距离为$\frac{|-3-12+1|}{5}$=$\frac{14}{5}$，C₂到直线PQ的距离为$\frac{|6+4+1|}{5}$=$\frac{11}{5}$，
∴m=$\frac{14}{5}$，n=$\frac{11}{5}$，∴$\frac{m}{n}$=$\frac{14}{11}$．
故答案为：$\frac{14}{11}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．