Question

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB²=DE•BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．

Answer 1

【答案】分析：对于（1）求证：AB²=DE•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．
对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC²=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．
解答：解：（1）∵AD∥BD
∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，
又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，
∴△CDE∽△BCD，∴，
∴CD²=DE•BC，即AB²=DE•BC．
（2）由（1）知，，
∵△PDE∽△PBC，
∴．
又∵PB-PD=9，
∴．
∴．
∴．
点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．