题目内容
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．
分析：对于（1）求证：AB2=DE•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．
对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．
对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．
解答：解：（1）∵AD∥BD
∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，
又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，
∴△CDE∽△BCD，∴
=
，
∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．
（2）由（1）知，DE=
=
=4，
∵△PDE∽△PBC，
∴
=
=
．
又∵PB-PD=9，
∴PD=
，PB=
．
∴PC2=PD•PB=
×
=
．
∴PC=
．
∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，
又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，
∴△CDE∽△BCD，∴
| DC |
| BC |
| DE |
| DC |
∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．
（2）由（1）知，DE=
| AB2 |
| BC |
| 62 |
| 9 |
∵△PDE∽△PBC，
∴
| PD |
| PB |
| DE |
| BC |
| 4 |
| 9 |
又∵PB-PD=9，
∴PD=
| 36 |
| 5 |
| 81 |
| 5 |
∴PC2=PD•PB=
| 36 |
| 5 |
| 81 |
| 5 |
| 542 |
| 52 |
∴PC=
| 54 |
| 5 |
点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．
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