Question

已知曲线x²+y+1=0与双曲线x²-

y2

b2

=1（b＞0）的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（　　）

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、4
• D、2

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,导数的概念及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，以及函数y=-x²-1的导数，设出切点，求出切线的斜率，得到方程，解方程即可得到切点和b的值，进而得到双曲线的c，即有焦距2c．

解答： 解：双曲线x²-

y2

b2

=1（b＞0）的渐近线方程为y=±bx，
曲线x²+y+1=0，即为y=-x²-1，y′=-2x，
可设切点为（m，n），（m＞0），
则-b=-2m，n=-m²-1，n=-bm，
解得，m=1，b=2，n=-2．
则双曲线的c=

1+b2

=

5

，
则焦距为2

5

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．