Question

12．已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是45°．

Answer 1

分析 要求线面角，关键找到面PAC的垂线，即BD，从而∠DMO即是，然后在三角形中计算角的大小．

解答 解：连接AC、BD，AC∩BD=O，连接MO，设AB=a，
∵正四棱锥P-ABCD，
∴PO⊥面ABCD，BD?面ABCD，PO⊥BD，BD⊥AC，
又∵PO∩AC=O，
∴BD⊥面PAC，
∴∠DMO即DM与平面PAC所成角．
AB=a，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，又侧棱与底面所成角为60°，即∠PAO=60°，
在Rt△PAO中，PA=$\sqrt{2}$a，M为PA中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，在Rt△DMO中，DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴∠DMO=45°，
故答案为：45°．

点评 本题考查线面角的计算，关键是作出线面角，属于中档题．