已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$.椭圆的左.右焦点分别是F1.F2.且|F1F2|=2．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)P为椭圆上一点.PF1与y轴相交于Q.且$\overrightarrow{F 1P}$=2$\overrightarrow{F 1Q}$．若PF1与椭圆相交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆的左、右焦点分别是F₁，F₂，且|F₁F₂|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF₁与y轴相交于Q，且$\overrightarrow{F_1P}$=2$\overrightarrow{F_1Q}$．若PF₁与椭圆相交于另一点R，求|PR|的长．

分析（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{F_1P}$=2$\overrightarrow{F_1Q}$，知Q为F₁P的中点，可设Q（0，y），由F₁（-1，0），则P（1，2y），代入椭圆方程，求得P的坐标，求出直线PF₁的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答解：（Ⅰ）由已知条件得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2c=2，
∴c=1，a=2，∴b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{F_1P}$=2$\overrightarrow{F_1Q}$，知Q为F₁P的中点，
可设Q（0，y），由F₁（-1，0），则P（1，2y），
又P满足椭圆的方程，代入求得y=±$\frac{3}{4}$，可取P（1，$\frac{3}{2}$），
可得直线PF₁的方程为y=$\frac{3}{4}$（x+1），代入椭圆方程，
可得7x²+6x-13=0，
设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6}{7}$，x₁x₂=-$\frac{13}{7}$．
由弦长公式可得|PR|=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{5}{4}$•$\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{52}{7}}$=$\frac{25}{7}$．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查弦长的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查向量共线定理的运用，属于中档题．

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