Question

17．在△ABC中，AB=3，BC=4，D是BC的中点，且$∠B=\frac{π}{3}$，则sin∠ADC=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{4}$
• B． $\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$
• C． $\frac{{\sqrt{39}}}{26}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{28}$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求AD，AC的值，在△ABC中，由正弦定理可求sinC，进而在△ADC中，由正弦定理计算可求sin∠ADC=$\frac{ACsinC}{AD}$的值．

解答 解：在△ABC中，∵AB=3，BC=4，D是BC的中点，且$∠B=\frac{π}{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•BD•cosB}$=$\sqrt{7}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{13}$，
∵在△ABC中，由$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，可得：sinC=$\frac{ABsinB}{AC}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$，
∴在△ADC中，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{AD}{sinC}$，可得：sin∠ADC=$\frac{ACsinC}{AD}$=$\frac{\sqrt{13}×\frac{3\sqrt{39}}{26}}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．