Question

已知直线y=kx+1 与抛物线x²=4y 相交于A，B两点，且该抛物线过A，B两点的切线交于C，点C的轨迹记为E，M，N是E上不同的两点，直线AM，BN都与y轴平行，则

FM

•

FN

=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,抛物线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．把直线方程y=kx+1与抛物线方程联立可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．由x²=4y利用导数的运算法则可得y′=

1

2

x．即可得到抛物线过A，B两点的切线分别为：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)．可得E点的轨迹方程y=kx-2k²-1．可得M(x1，kx1-2k2-1)．N(x2，kx2-2k2-1)．又F（0，1），即可得出

FM

•

FN

=(x1，kx1-2k2-2)•(x2，kx2-2k2-2)．

解答： 解：如图所示，设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．
联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0，可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y得y′=

1

2

x．
∴过点A，B的切线的斜率分别为：

1

2

x1，

1

2

x2．
∴抛物线过A，B两点的切线分别为：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)．
两式相加可得2y=

1

2

x(x1+x2)-

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]，
把x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4代入可得y=kx-2k²-1．即为E点的轨迹方程．
令x=x₁，则y_M=kx1-2k2-1，得到M(x1，kx1-2k2-1)．
同理可得N(x2，kx2-2k2-1)．
又F（0，1），
∴

FM

•

FN

=(x1，kx1-2k2-2)•(x2，kx2-2k2-2)=x₁x₂+k²x₁x₂-k（2k²+2）（x₁+x₂）+（2k²+2）²=-4（1+k²）-4k²（2k²+2）+（2k²+2）²=-4k²-4k⁴．
故答案为：-4k²-4k⁴．

点评：本题综合考查了直线与抛物线之间的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、导数几何意义、切线的方程、直线相交、向量的数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．