Question

15．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$，$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成，记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （　　）
①S有5个不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{a}$|无关；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{b}$|无关；
④若|$\overrightarrow{b}$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，则S_min＞0；
⑤若|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，S_min=8|$\overrightarrow{a}$|²，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 求出S的三种结果，得出S_min，对②③④⑤进行分析得出答案．

解答 解：①∵x_i，y_i（i=1，2，3，4，5）均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成，
∴S=x_iy_i可能情况有三种：①S=2$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{b}$²；②S=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2${\overrightarrow{b}}^{2}$；③S=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$．故①错误；
②∵S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=（|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|）²≥0，
∴S中最小为S₃；
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min=S₃=${\overrightarrow{b}}^{2}$，与|$\overrightarrow{a}$|无关，故②正确；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_min=S₃=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²，与|$\overrightarrow{b}$|有关，故③错误；
④若|$\overrightarrow{b}$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，则S_min=S₃=4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ+$\overrightarrow{b}$²＞-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|+$\overrightarrow{b}$²＞-|$\overrightarrow{b}$|²+$\overrightarrow{b}$²=0，故④正确；
⑤若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，S_min=S₃=8|$\overrightarrow{a}$|²cosθ+4|$\overrightarrow{a}$|²=8|$\overrightarrow{a}$|²，
∴2cosθ=1，∴θ=$\frac{π}{3}$，
即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
综上所述，命题正确的是②④，
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．