Question

函数f(x)=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）证明f（-x）=-f（x）；
（4）对f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0 求m值的集合M．

Answer 1

分析：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，利用指数函数的值域及不等式的性质即可求得函数值域；
（2）根据函数单调性的定义即可判断证明；
（3）利用分式性质对f（-x）进行变形即可得到与f（x）的关系；
（4）利用函数的单调性及（3）的结论，可把该抽象不等式转化为具体二次不等式，注意考虑定义域，解不等式组即可；

解答：解：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，
因为2^x＞0，所以0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
所以-1＜1-

2

2x+1

＜1，即-1＜f（x）＜1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）f（x）为增函数，下面证明：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x1＜2x2，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）为增函数；
证明：（3）f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
所以原式成立；
（4）f（1-m）+f（1-m²）＜0⇒f（1-m）＜-f（1-m²），
由（3）知-f（1-m²）=f（m²-1），
所以f（1-m）＜f（m²-1），
又由（2）知f（x）单调递增，
所以有

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

2

．
所以实数m的集合M={m|1＜m＜

2

}．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生分析解决问题的能力，解决本题的关键是利用函数性质把抽象不等式转化为具体不等式，体现了转化思想．