Question

【题目】设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．

Answer 1

【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为. (2) ,(3)详见解析

【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.

试题解析:(1)解： ．

当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为．

当时，由，得；由，得.

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

(2)解：由(1)得，若函数有两个零点

则，且的最小值，即.

因为，所以.令，显然在上为增函数，

且，，所以存在，.

当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数

(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知.

不妨设，则，.

两式相减得，

即．

所以.因为，

当时，， 当x∈时，，

故只要证即可，即证明，

即证明，

即证明.设．

令，则.

因为，所以，当且仅当t＝1时，，所以在上是增函数．

又，所以当时，总成立．所以原题得证