Question

【题目】设函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若函数在处有极值，请证明：对任意时，都有．

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用导数的运算法则可得 ，通过分类讨论与2的大小关系，再根据导数与函数单调性的关系即可得出单调区间；（2）由时，有极值，得到，即可得到的值，再求出其单调递增区间，即可得出.

试题解析：（1） ，

当时，，在上单调递增；

当时，，解得或；，解得，

故函数在和上单调递增，在上单调递减．

当时，，解得或；，解得，

故函数在和上单调递增，在上单调递减．

所以当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

（2）∵时，有极值，∴，∴，

∴，，

由，得，∴在上单调递增．

∵，∴，，

∴．