Question

【题目】已知向量，为坐标原点，动点满足：．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知直线都过点，且，与轨迹分别交于点，试探究是否存在这样的直线？使得是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】设点，则…… 1分

∵

∴……… ……… ……… 2分

∴点M的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆……… …… ……… 4分

∴∴

∴ 动点M的轨迹C的方程为……… ……… ……… 6分

(2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，

设满足条件的直线、存在，直线的方程为①

则直线的方程为，② ……… ……… ……… 7分

将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.

将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则.

由△BDE是等腰直角三角形得

…………11分

∴或④…………………………………………12分

∵方程④或.

∴即满足条件的直线、存在，共有3组．

【解析】略