Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线的下方，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：

试题解析：（I）借助存在型不等式成立的条件建立不等式；（II）先建立不等式，再运用导数知识求解：

解：（Ⅰ）当时，，

所以，由知，

则函数在区间为增函数，

则当时，，

故存在使不等式成立，

只需即可．

（Ⅱ）在区间上，函数的图象恒在直线的下方等价于对任意，，

即恒成立，

设，．

则

当时，，．

①若，即，有，

则函数在区间为减函数，

则对任意，，

只需，即当时，恒成立．

②若，即时，

令，

得．

则函数在区间为减函数，在区间为增函数，

则，不合题意．

③若，即当时，，函数在区间为增函数，

则，不合题意．

综上，当时，在区间恒成立，

即当时，在区间上函数的图象恒在直线的下方．