Question

7．已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．

Answer 1

分析 由题意设出A，B的坐标及AB所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式求得|AB|，再求出与AB平行且与抛物线相切的直线方程，求出切点R的坐标，由点到直线的距离公式求出R到AB的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB所在的直线方程为y=x-$\frac{p}{2}$，将其代入抛物线y²=2px，
得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=3p，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{9{p}^{2}-4•\frac{{p}^{2}}{4}}=4p$，
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时△RAB的面积有最大值．
设直线l方程为y=x+b，代入抛物线方程得y²-2py+2pb=0，
由△=4p²-8pb=0，得$b=\frac{p}{2}$，这时R（$\frac{p}{2}，p$），
它到AB的距离为h=$\frac{\sqrt{2}}{2}p$，
∴△RAB的最大面积为$\frac{1}{2}|AB|•h=\sqrt{2}{p}^{2}$．

点评 本题考查抛物线的几何性质，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．