Question

2．已知动点M（x，y）在过点（-$\frac{3}{2}$，-2）的圆x²+y²-2x+4y=0的两条切线和x-y+1=0围成的区域内，则$\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范围为（　　）

• A． （-1，0）∪（0，$\frac{1}{7}$]
• B． [-1，0）∪（0，$\frac{1}{7}$]
• C． [-1，0）∪（0，$\frac{1}{7}$）
• D． [-1，$\frac{1}{7}$]

Answer 1

分析 由题意设出圆的切线方程，利用点到直线的距离等于圆的半径求得k，得到直线方程，作出可行域，再根据线性规划知识求解．

解答 解：由圆x²+y²-2x+4y=0，得（x-1）²+（y+2）²=5，
圆心坐标为（1，-2），半径r=$\sqrt{5}$，过点（-$\frac{3}{2}$，-2）的直线方程设为y=k（x+$\frac{3}{2}$）-2，
∵直线与圆相切，∴$\frac{|k+2+\frac{3}{2}k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{5}$，解得：k=±2．
∴两条切线方程分别为2x-y+1=0，2x+y+5=0．
画出可行域如图，

令z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$．
当x=-1时，z=0；当x≠-1时，z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=$\frac{1}{1+\frac{2（y-2）}{x+1}}$，
令t=1+$\frac{2（y-2）}{x+1}$，其几何意义为可行域内的点与D（-1，2）的连线的斜率的2倍加1，
由图可知，k_DC=3，k_DB=-1，
∴t∈（-∞，-1]∪[7，+∞），
∴z∈[-1，$\frac{1}{7}$]．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．